Lees het artikel.
Een ruimteverkenner (m = 1,0 ton) die het zonnestelsel wil verlaten, moet voldoende snelheid hebben om aan de aantrekkingskracht van de zon te ontsnappen. Daarom wordt een ruimteverkenner vaak bewust dicht langs planeten gestuurd, zodat hij gebruik kan maken van de aantrekkingskracht van een bewegende planeet. Dit noemt men een ‘fly-by’.
Door een fly-by langs Jupiter kregen ruimteverkenners als de Pioneers, de Voyagers en Ulysses extra snelheid om het zonnestelsel te kunnen verlaten.
Sanne en Christy bestuderen de fly-by. Daartoe stellen zij drie verschillende modellen op.
Model 1
In dit model beweegt de verkenner om een stilstaande planeet. Zie figuur 1.
Christy beweert dat er uiteindelijk snelheidswinst ontstaat doordat de verkenner naar de planeet toe steeds sneller gaat.
a) Waarom heeft Christy geen gelijk?
Om uiteindelijk snelheidswinst te boeken is het dus noodzakelijk dat de planeet zelf een snelheid heeft. Dit bestuderen ze in model 2.
Model 2
Als eerste berekenen ze dat de snelheid vJ van Jupiter in zijn baan om de zon gelijk is aan 1,3 ⋅ 104 ms−1.
b) Laat dit zien met een berekening.
In model 2 stellen Sanne en Christy dat Jupiter een snelheid heeft in de negatieve x-richting. De verkenner beweegt op de manier die is aangegeven in figuur 2.
In figuur 2 zijn de posities van de verkenner en Jupiter op 12 tijdstippen weergegeven. In figuur 3 is de situatie op tijdstip 1 weergegeven.
In figuur 4 is de situatie weergegeven als de verkenner het dichtst bij Jupiter is (ergens tussen de tijdstippen 6 en 7).
In figuur 5 is situatie op tijdstip 12 weergeven.
De snelheid van de verkenner vóór de passage noemen ze vvoor, de snelheid ná de passage noemen ze vna.
Model 2 levert eindsnelheden, die je kunt berekenen met de volgende formules:
$\displaylines{\begin{aligned}\\ v_{na,x} &= 2v_j - v_{voor,x} ~~~~~~(1)\\ v_{na,y} &= v_{voor,y}~~~~~~~~~~~~~~(2)\end{aligned}}$
De verkenner haalt maximale winst aan kinetische energie als hij op de heenweg tegen de bewegingsrichting van de planeet in beweegt.
c) Waarom is dit zo?
De snelheidswinst ontstaat door het overdragen van de kinetische energie van de planeet op de verkenner. De snelheidsverandering van Jupiter daarbij is echter niet merkbaar.
d) Leg dit uit.
e) Construeer met behulp van model 2 in een print van figuur 5 de snelheidsvector na vna van de verkenner op de aangegeven plaats.
Model 3
Dit is een computermodel. Model 3 staat weergegeven in de figuren 6 en 7.
f) Voer over dit model de volgende opdrachten uit:
- Vul op de uitwerkbijlage de regel M = …….. aan.
- Vul op de uitwerkbijlage de regel xj = ……. aan.
- Geef aan waarom gerekend wordt met (x-xj) in plaats van met x.
De snelheden die volgen uit model 3 zijn weergegeven in figuur 8.
Model 2 van Sanne en Christy komt overeen met de snelheidsberekeningen van model 3 in figuur 8.
g) Laat dit met behulp van getallen zien voor de formules (1) en (2).
Om op een bepaald punt uit het zonnestelsel te ontsnappen, moet de eindsnelheid vna groter zijn dan een minimale waarde vmin.
Voor vmin geldt:
$v_{min}=\sqrt{\frac{2GM_{zon}}{r}}$
Hierin is:
- Mzon de massa van de zon;
− r de afstand tussen de satelliet en de zon.
h) Leid de formule voor vmin af met behulp van formules in BiNaS.
i) Voer de volgende opdrachten uit:
- Bepaal de eindsnelheid vna die uit model 3 volgt.
- Laat zien met een berekening of deze eindsnelheid voldoende is om uit het zonnestelsel te ontsnappen.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Bij het naderen van de planeet zal de verkenner steeds sneller gaan. Bij het weg vliegen van de planeet remt de verkenner alleen weer evenveel af.
Uitwerking vraag (b)
$v=\frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \cdot0,7883\cdot 10^{12} }{11,86\cdot 365\cdot 24\cdot 3600} = 1,3\cdot 10^{4}~\mathrm{ms}^{-1}$
Uitwerking vraag (c)
Je wilt dat vna,x zo groot mogelijk is. Dan moet het verschil tussen vj en vvoor,x zo groot mogelijk zijn. Dit is het geval als ze in tegengestelde richting bewegen.
Uitwerking vraag (d)
De massa van Jupiter is veel groter dan de massa van de verkenner. De totale energie moet behouden blijven. Als de verkenner meer kinetische energie heeft, heeft Jupiter een kleinere kinetische energie. Aangezien de massa van Jupiter zo groot is, zal de snelheidsverandering ten gevolge van de afname in de kinetische energie niet merkbaar zijn.
Uitwerking vraag (e)
De snelheid verandert niet in de y-richting. De component in de y-richting kan je dus eenvoudig tekenen. De component in de x-richting moet gelijk zijn aan 2vj -vvoor,x. Als je deze ook getekend hebt kan je de resultante kracht construeren:
Uitwerking vraag (f)
- Hier moet de massa van Jupiter staan, dus "M = 1.9e27"
- De nieuwe positie is de oude positie plus de afstand die in de huidige tijdstip is afgelegd, oftewel: "xj = xj + vj * dt"
- De versnelling is afhankelijk van de afstand tussen de verkenner en Jupiter. Deze afstand bereken je met (x - xj).
Uitwerking vraag (g)
Laten we eerst de snelheden aflezen.
Vóór de passage: vx = 1.44 . 104 ms-1 en vy = 2.49 . 104 ms-1.
Na de passage: vx = -4 . 104 ms-1 en vy = 2.49 . 104 ms-1.
Formule (1)
vna,x = 2vj - vvoor,x = 2 . -1.3 . 104 - 1.44 . 104 = -4,04 . 104 ms-1.
Dit klopt!
Formule (2)
Je ziet dat de snelheid in de y-richting voor en na de passage gelijk is aan 2.49 . 104 ms-1.
De snelheidsberekeningen komen dus overeen!
Uitwerking vraag (h)
De minimale waarde vmin is de snelheid waarbij de afname van de kinetische energie tijdens het ontsnappen gelijk is aan de toename van de gravitatie-energie. Oftewel:
$\displaylines{\begin{aligned}\\ E_k &= E_g \\ \frac{1}{2}mv_{min}^2 &= G\frac{mM}{r}\rightarrow v_{min} &= \sqrt{\frac{2GM_{zon}}{r}}\end{aligned}}$
Uitwerking vraag (i)
- We hebben bij onderdeel (g) gezien dat vx = -4 . 104 ms-1 en vy = 2.49 . 104 ms-1. De snelheid is dan:
$v_{na} = \sqrt{{v_{na,x}}^2 + {v_{na,y}}^2} = \sqrt{(4,0\cdot 10^4)^2 + (2,49\cdot 10^4)^2} = 4,7 \cdot 10^4 ms^{-1}$
- De minimale snelheid is:
$v_{min}=\sqrt{\frac{2GM_{zon}}{r}}=\sqrt{\frac{2\cdot 6,67\cdot 10^{-11}\cdot 1,989\cdot 10^{30} }{0,7883\cdot 10^{12}}}=1,83\cdot 10^4 ~\mathrm{ms}^{-1}$
De snelheid is nu dus genoeg om uit het zonnestelsel te ontsnappen!
