Het Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde heeft in juni 2016 een themanummer uitgegeven over Natuurkunde in de sport. Hieronder vind je een opgave die in dit nummer is verschenen. Losse nummers zijn voor €9,95 (incl. btw en verzendkosten) na te bestellen door een mail te sturen naar bureau@nnv.nl. Voor meer informatie, zie www.ntvn.nl.
Opgave
Een waaghals (m = 80,0 kg) bevindt zich boven in een gondel (hoogte h = 80 m) en waagt een sprong. Het bungeejumpkoord is stevig bevestigd aan zowel de waaghals als de gondel. Luchtwrijving wordt in deze opgave niet verwaarloosd; we gaan ervan uit dat de luchtwrijving evenredig is met de snelheid. Met uitsluitend deze wrijvingskracht zou de waaghals een eindsnelheid ve = -53,6 m/s bereiken; echter als hoogte y van de bungeespringer kleiner wordt dan yL dan wordt de eigenlengte van het koord (L = 20,0 m) overschreden en dan treedt de veerkracht van het koord in werking. De veerkracht is evenredig met de uitrekking van het koord. Er geldt voor de veerconstante k dat k = 0 voor y > yL en k = 165 N/m voor y < yL. De oorsprong van de y-as kiezen we op het aardoppervlak. We kunnen nu de bijbehorende differentiaalvergelijking met behulp van de tweede wet van Newton opschrijven
$-mg - c\dot{y}(t) - k(y(t) -y_L) = m\ddot{y}(t)$ (1)
waarin alle krachten in rekening zijn gebracht. Iets herschrijven levert
$mg + c\dot{y}(t) + k(y(t) - y_L) + m\ddot{y}(t) = 0$ (2)
Vergelijkingen 1 en 2 zijn niet-homogene differentiaalvergelijkingen waarvan de oplossing te schrijven is als
$y(t) = y_h(t) + y_e$ (3)
met yh(t) de oplossing van het homogene deel en ye de evenwichtsstand van de gedempte oscillatie die de bungeejumper gaat uitvoeren.
1) Laat zien dat y(t) = Ae-γt cos(t) + ye een oplossing is van vergelijking 1 en bereken de constanten c, γ en ω en ye.
2) Op welke hoogte is de snelheid van de bungeejumper maximaal en hoe groot is deze snelheid?
3) Op welke hoogte is de versnelling van de bungeejumper maximaal?
4) Hangt de gondel hoog genoeg?
De antwoorden zijn hier te vinden.
Referenties
- Hubert Biezeveld, The Bungee Jumper: A Comparison of Predicted and Measured Values, Phys. Teach. 41 (2003) 238.
- J.W. Kockelman en M. Hubbard, Bungee Jumping Cord Design using a Simple Model, Sports Engineering 7 (2004) 89-96.
- Paul G. Menz, The Physics of Bungee Jumping, Phys. Teach. 31 (1993) 483.
