Vraag a. Stel de middelpuntzoekende kracht op het elektron in het bohrmodel gelijk aan de elektrische kracht en leid hiermee af dat: $v^2 = \frac{f \cdot e^2}{m_e \cdot r}$
$\frac{m_e \cdot v^2}{r} = \frac{f \cdot e^2}{r^2}$
Omschrijven geeft:
$v^2 = \frac{f \cdot e^2}{m_e \cdot r}$
Vraag b. Gebruik de quantisatieregel van Bohr om af te leiden dat: $v_n^2 = \frac{n^2 \cdot h^2}{4\pi^2 \cdot m_e^2 \cdot r_n^2}$
De quantisatieregel zegt dat:
$2\pi \cdot r \cdot m \cdot v_n = n \cdot h$
Hieruit volgt:
$v_n^2 = \frac{n^2 \cdot h^2}{4\pi^2 \cdot m_e^2 \cdot r_n^2}$
Vraag c. Combineer a en b en leid af dat: $r_n = \frac{n^2 \cdot h^2}{4\pi^2 \cdot m_e \cdot f \cdot e^2}$ en: $v_n^2 = \frac{4\pi^2 \cdot f^2 \cdot e^4}{n^2 \cdot h^2}$
$\frac{f \cdot e^2}{m_e \cdot r} = \frac{n^2 \cdot h^2}{4\pi^2 \cdot m_e^2 \cdot r_n^2}$
Hieruit volgt:
$r_n = \frac{n^2 \cdot h^2}{4\pi^2 \cdot m_e \cdot f \cdot e^2}$
Gebruikmakend van:
$v^2 = \frac{f \cdot e^2}{m_e \cdot r}$
komen we tot:
$v_n^2 = \frac{4\pi^2 \cdot f^2 \cdot e^4}{n^2 \cdot h^2}$
De totale energie En van een elektron in baan n wordt gegeven door de formule: $E_n = \frac{1}{2} m_e \cdot v_n^2 - \frac{f \cdot e^2}{r_n}$ .
Vraag d. Leid hieruit af dat: $E_n = - \frac{2\pi^2 \cdot m_2 \cdot f^2 \cdot e^4}{n^2 \cdot h^2}$
Invullen van antwoord c geeft:
$E_n = \frac{1}{2} m_e \cdot \frac{4\pi^2 \cdot f^2 \cdot e^4}{n^2 \cdot h^2} - \frac{f \cdot e^2}{\frac{n^2 \cdot h^2}{4\pi^2 \cdot m_e \cdot f \cdot e^2}}$
Dit is hetzelfde als:
$E_n = \frac{1}{2} m_e \cdot \frac{4\pi^2 \cdot f^2 \cdot e^4}{n^2 \cdot h^2} - \frac{f \cdot e^2 \cdot 4\pi^2 \cdot m_e \cdot f \cdot e^2}{n^2 \cdot h^2}$
Dit kunnen we verder vereenvoudigen:
$E_n = \frac{(2\pi^2 \cdot m_e \cdot f^2 \cdot e^4) - (4\pi^2 \cdot m_e \cdot f^2 \cdot e^4)}{n^2 \cdot h^2} = - \frac{2\pi^2 \cdot m_e \cdot f^2 \cdot e^4}{n^2 \cdot h^2}$
Vraag e. Laat zien dat: $r_1 = 5,\!26 \cdot 10^{-11} \text{ m} \text{ en } E_1 = -13,\!6 \text{ eV}$
De getalswaarden van h, f, e staan in Binas in tabel 7A en die van me in tabel 7B. Invullen in de formules voor r1 (zie c) en E1 (zie d) geeft het gewenste resultaat.
