Een gloeilamp moet van de juiste gloeidraad voorzien worden. Daarbij wordt rekening gehouden met het elektrisch vermogen dat de gloeidraad opneemt en het vermogen dat de gloeidraad uitstraalt.
Beide zijn afhankelijk van de temperatuur van de gloeidraad.
Het elektrisch vermogen dat de gloeidraad zal opnemen bij een bepaalde temperatuur, kan van tevoren worden berekend als de afmetingen en de elektrische eigenschappen van de draad bekend zijn. In figuur 1 staat het resultaat van die berekening voor een bepaalde draad weergegeven als Pel.
Het gaat over een gloeilamp met een vermogen van 10 W bij een spanning van 12 V.
In figuur 2 staat een diagram. De weerstand van de gloeidraad bij één temperatuur is weergegeven door een punt. Neem aan dat het verband tussen de weerstand en de temperatuur lineair is.
Opgaven
a) Voer de volgende opdrachten uit:
- Bepaal met behulp van figuur 1 de weerstand van de gloeidraad bij
1500 K en teken in een print van figuur 2 het bijbehorende punt.
- Bepaal de weerstand van de gloeidraad bij kamertemperatuur.
Het vermogen dat de gloeidraad uitstraalt, kan berekend worden met de stralingswet van Stefan-Boltzmann. In figuur 1 staat dat weergegeven als Pstr. Daarbij is aangenomen dat de gloeidraad als een Planckse straler ('zwarte straler') beschouwd mag worden en dat de stralende oppervlakte gelijk is aan de oppervlakte van de buitenkant van de gloeidraad.
b) Bepaal met behulp van figuur 1 de oppervlakte van de buitenkant van de gloeidraad.
De spanning van 12 V wordt op de gloeilamp aangesloten.
c) Beantwoord de volgende vragen:
- Waarom zal het vermogen van de lamp direct na het inschakelen groter dan 10 W zijn?
- Waarom heeft de lamp na enige tijd een constant vermogen?
- Waarom wordt de temperatuur van de gloeidraad niet hoger dan
2400 K?
Soortgelijke berekeningen zijn ook voor de gloeidraad van een halogeenlamp gemaakt. De temperatuur van de gloeidraad is bij een halogeenlamp hoger dan bij een (gewone) gloeilamp. In figuur 3 zijn de resultaten van een halogeenlamp van 12 V;10 W weergegeven met getrokken lijnen. (De resultaten uit figuur 1 voor de gloeilamp zijn weergegeven met stippellijnen.)
We vergelijken de gloeidraad van een brandende halogeenlamp met de gloeidraad van een brandende gloeilamp. De beide gloeidraden zijn van hetzelfde metaal gemaakt. De diameter van de gloeidraad in de gloeilamp is 1,3 maal die van de gloeidraad in de halogeenlamp.
d) Leg uit met behulp van figuur 3 welke gloeidraad langer is: die van de gloeilamp of die van de halogeenlamp.
In figuur 4 is van beide lampen de stralingskromme weergegeven.
Jan beweert dat deze figuur niet kan kloppen, omdat de twee lijnen elkaar snijden en Planck-krommen elkaar nooit snijden. Zie BINAS tabel 23.
e) Leg uit of Jan gelijk heeft.
Het rendement van een elektrische lamp wordt gedefinieerd als de verhouding van de energie van het uitgestraalde licht in het zichtbare gebied (400 tot 800 nm) en de elektrische energie.
f) Leg uit hoe de verhouding van de rendementen van de halogeenlamp en de gloeilamp uit figuur 4 te bepalen is. (De bepaling zelf hoeft niet te worden uitgevoerd.)
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Bij 1500 K lees je af in figuur 1 dat Pel = 16,5 W. Voor de weerstand geldt dan:
$P=\frac{U^2}{R}\rightarrow R=\frac{U^2}{P}=\frac{12^2}{16,5} = 8,7~\Omega$
Dit punt kan in figuur 2 aangegeven worden en vervolgens kan er een rechte lijn getekend worden. Dit geeft:
De weerstand bij 293 K is dan 1,2 Ω
Uitwerking vraag (b)
De wet van Stefan-Boltzman luidt:
$P=\sigma A T^4$
Hierin is σ een constante. In figuur 1 lezen we bijvoorbeeld af dat het vermogen 10 W is bij een temperatuur van 2400 K. Invullen geeft dan:
$P=\sigma AT^4 \rightarrow A = \frac{P}{\sigma T^4}=\frac{10}{5,67\cdot 10^{-8}\cdot (2400)^4}=5,3\cdot 10^{-6}~\mathrm{m}^2$
Uitwerking vraag (c)
- De weerstand is dan nog klein, dus het vermogen is dan groter.
- Na verloop van tijd zal er een stralingsevenwicht ontstaan. De lamp heeft dan een constant vermogen.
- Boven de 2400 K wordt de weerstand groter. Hierdoor zal het elektrisch vermogen niet groter worden.
Uitwerking vraag (d)
Het uitgestraalde vermogen hangt af van de temperatuur en de oppervlakte van de draden. Als de temperatuur gelijk is, is het uitgestraald vermogen dus evenredig met de oppervlakte.
We lezen in figuur 3 af dat bij T = 2500 K het uitgestraalde vermogen van de gloeilamp ongeveer 3 keer zo groot is als het uitgestraalde vermogen van de halogeenlamp. De oppervlakte van de gloeidraad van de gloeilamp moet dus 3 keer zo groot zijn.
Aangezien de draaddikte slechts 1,3 keer zo groot is, moet de draadlengte wel groter zijn. Anders zou de oppervlakte nooit 3 keer zo groot kunnen zijn. Voor de oppervlakte van een draad geldt immers:
$A=\pi \cdot d \cdot l$
Met d de diameter en l de lengte.
Uitwerking vraag (e)
De Planck-krommen in de Binas gaan er van uit dat het oppervlakte van het stralend voorwerp gelijk is. In figuur 4 is dat niet het geval. De lijnen kunnen elkaar dus wel snijden. Jan heeft geen gelijk!
Uitwerking vraag (f)
Beide lampen hebben hetzelfde elektrische vermogen. Om de rendementen uit te rekenen moet je dan ook nog het nuttige vermogen hebben. Deze is te vinden door de oppervlakte onder de Planck-krommen in het zichtbare gedeelte te bepalen (dus tussen 400 nm en 800 nm). De verhouding van de rendementen is dus gelijk aan de verhouding van de oppervlakten onder de krommen.
