Icon up Overzicht

Waterstofatoom (voorbeeldexamen quantum)

Onderwerp: Quantumwereld

Ongeveer 380.000 jaar na de oerknal was de temperatuur van het heelal zo ver gedaald dat de protonen elektronen konden ‘vangen’ en vasthouden: hierdoor werden voor het eerst stabiele waterstofatomen gevormd. Driekwart van de zichtbare materie van het heelal bestaat uit het element waterstof, de grondstof van de energieproductie van alle sterren. Zonder quantumfysica valt het bestaan van stabiel waterstof echter niet te begrijpen!

Deze opgave maakt onderdeel uit van de serie voorbeeldexamenvragen quantumwereld zoals die door het comité voor toetsing en examen zijn verspreid. Kijk voor meer van deze opgaven (in pdf-vorm) op de website van het CvTE

Klassiek

Waterstofatoom_figuur_1

Figuur 1: Schematische weergave van een waterstofatoom

Het klassieke beeld van het waterstof atoom is dat van een micro-zonnestelsel, waarin het elektron als een puntlading op een afstand a0 (BiNaS tabel 7) in een cirkelbaan om de kern draait. Zie figuur 1. Het elektron ondergaat een middelpuntzoekende versnelling als gevolg van de aantrekkingskracht van de kern. Dit proces kan worden beschreven in een model. Volgens de theorie van het elektromagnetisme zendt een afbuigend elektron straling uit. Hierdoor neemt de energie van het elektron elke seconde af met een hoeveelheid gelijk aan:

Hierin is:

 een constante, zie figuur 2

 de straal in pm (10-12 m)

Waterstofatoom_figuur_2

Figuur 2: Model met betrekking tot een waterstofatoom, benodigd voor vraag a

Vraag a. Voer de volgende opdrachten uit:

− Vul de modelregel voor Et aan.

− Geef aan waarom de startwaarde van Et een negatieve waarde heeft.

− Bereken de startwaarde van c2.

Uit het model kan men het (r,t)-diagram afleiden. Zie figuur 3.

Waterstofatoom_figuur_3

Figuur 3: Grafiek waarin de straal van een waterstofatoom is uitgezet tegen de tijd

Vraag b. Voer de volgende opdrachten uit met behulp van figuur 3.

- Beschrijf het verloop van de naar binnen gerichte snelheid.

- Beschrijf wat er gebeurt op t = 1,55 . 10-11 s

Quantum

Het is echter in strijd met het onbepaaldsheidsprincipe als het elektron op de kern zou stilvallen.

Vraag c. Leg dit uit.

Het elektron beweegt dus niet in een cirkelvormige baan met vaste omlooptijd, maar wordt in de quantumfysica beschreven met een waarschijnlijkheidsverdeling W. De kans om het waterstof-elektron op een afstand tussen r1 en r2 van de kern aan te treffen, wordt gegeven door de overeenkomstige oppervlakte onder de grafiek. Het maximum van W ligt bij atoomstraal a0. Zie figuur 4.

Waterstofatoom_figuur_4

Figuur 4: De waarschijnlijkheidsverdeling voor het elektron om zich op een bepaalde straal te bevinden

De grafiek van figuur 4 is onderwerp van discussie tussen een aantal leerlingen.

− Myrthe meent dat de oppervlakte nooit gelijk aan 1 kan zijn, omdat de grafiek een asymptoot heeft.

− Jim zegt dat de totale oppervlakte onder de kromme gelijk aan 1 is, omdat dat gelijk is aan de totale kans om het elektron te vinden.

− Johan zegt dat de kans om het elektron binnen een gebiedje Δr = 10 pm aan te treffen, het grootst is rondom r = a0.

− Volgens Ingrid kun je aan de grafiek zien dat de kans om een elektron tussen r = 0 (de kern) en r = a0 aan te treffen, ongeveer twee keer zo klein is als voor r > a0.

− José zegt dat de kans om een elektron aan treffen, voor r < a0 en r > a0 gelijk moet zijn.

Vraag d. Geef aan wie van de leerlingen gelijk heeft/hebben.

De Broglie stelde de impuls van het elektron in de meest waarschijnlijke baan gelijk aan:

De bovenstaande formule van De Broglie is niet in strijd met de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg. Om dat aan te tonen gaan we ervan uit dat:

Vraag e. Leg uit dat de formule van De Broglie niet in strijd is met de onbepaaldheidsrelatie van Heisenberg.

De totale energie van het elektron is de som van de kinetische en de potentiële energie:

Het is handig om zowel Ek als Ep uit te drukken in de straal r. Er geldt:

en:

Vraag f. Toon met een berekening aan dat de waarde k1 klopt.

In de grondtoestand, bij de meest waarschijnlijke waarde van r, is de waarde van Et minimaal. Er geldt dan dus:

Vraag g. Voer de volgende opdrachten uit:

- Toon aan dat bij een minimale energie Et geldt dat 

- Toon aan dat deze meest waarschijnlijke r gelijk is aan a0.

De op deze manier gevonden energie van de grondtoestand komt overeen met de waarde uit de theorie van Bohr: Et = − 13,6 eV.

Vraag h. Toon dit aan.