Davisson en Germer gebruikten de opstelling zoals schematisch weergegeven in figuur 2. In de opstelling wordt gebruik gemaakt van een elektronenversneller. Hierin worden elektronen via thermische emissie losgemaakt uit een gloeidraad (1). Daarna worden de elektronen versneld tussen de gloeidraad en de anode (2) en gaan verder door de opening in de anode. Deze anode is via een regelbare weerstand (3) verbonden met een spanningsbron.
De elektronen komen met een verwaarloosbaar kleine snelheid uit de gloeidraad (1) en worden versneld met een spanning van 54 V.
Vraag a. Bereken met welke snelheid de elektronen door de opening in de anode (2) bewegen.
Volgens de wet van behoud van energie geldt:
$\Delta E_{e} = \Delta E_{k}$
Oftewel:
$qU=\frac{1}{2}mv^{2}$
Herschreven geeft dit:
$v=\sqrt \frac{2qU}{m}$
En door invullen van de waardes wordt $v$ gevonden:
$v= \sqrt \frac{2\cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \cdot 54}{9,11 \cdot 10^{-31}}=4,4 \cdot 10^{6} \text{ ms}^{-1}$
Men wil de snelheid waarmee de elektronen door de opening bewegen, verhogen.
Vraag b. Beredeneer of het schuifcontact van de regelbare weerstand (3) dan naar boven of naar beneden verschoven moet worden.
Als de versnelspanning vergroot wordt, zal het elektron een grotere kinetische energie (en dus een grotere snelheid) krijgen. Het versnelgedeelte van de opstelling staat parallel aan de schuifweerstand. Deze weerstand moet dus vergroot worden. Het schuifcontact moet daarbij naar beneden verschoven worden.
Het geheel is in een vacuüm ruimte (4) geplaatst. De elektronenbundel komt op een nikkelplaatje (5) terecht. Elektronen die terugkomen van het plaatje kunnen worden opgevangen door een detector (6). Deze kan verdraaid worden rondom het nikkelplaatje. De afstand tussen (het midden van) het plaatje en de detector blijft daarbij gelijk. De detector vangt de elektronen op die terugkomen met een hoek θ ten opzichte van de invallende bundel.
In figuur 3 staan de meetresultaten van Davisson en Germer bij een versnelspanning van 54 V uitgezet bij verschillende hoeken.
Vraag c. Leg, aan de hand van figuur 3, uit dat elektronen zich hier gedragen als golven.
In de grafiek is duidelijk een variatie in waargenomen intensiteit waar te nemen. Dit is uitsluitend verklaarbaar via interferentie en daarom moeten de elektronen hier worden opgevat als golven.
In figuur 4 staat schematisch het principe weergegeven van het terugkomen van de elektronengolven van het nikkel. In figuur 4 is een invallende bundel met twee stralen en een bundel die terugkomt weergegeven. De punten geven de nikkelatomen weer. De afstand d is de afstand tussen de atomen.
De meetresultaten van Davisson en Germer kunnen worden beschreven met:
$n\lambda = d \cdot sin\theta$
Hierin is:
- $\lambda$ de golflengte van de straling (in m),
- $d$ de afstand tussen de atomen (in m);
- $\theta$ de hoek tussen invallende en de terugkomende bundel.
Vraag d. Leg uit dat n een geheel getal is als er sprake is van een maximum.
Straal 2 legt een grotere afstand af dan straal 1. Het afstandsverschil is gelijk aan $d \cdot sin\theta$ . Aangezien de lichtstralen elkaar versterken moet het faseverschil tussen de stralen gelijk zijn aan een geheel getal (1, 2, enz.). Het weg-lengteverschil is daarmee gelijk aan een geheel veelvoud van de golflengte: $n\lambda$ .
Vanuit de situatie in de opstelling van figuur 2 kan de debroglie-golflengte van de elektronen berekend worden met de formule:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU}}$
Vraag e. Leid deze formule af uit formules in BiNaS.
Voor de golflengte geldt:
$\lambda = \frac{h}{p}$
Voor de kinetische energie geldt dan:
$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{p^{2}}{2m}$
Herschreven geeft dit voor de impuls:
$p=\sqrt{2mE_{k}}$
Combineren met:
$E_{k}=qU=eU$
geeft:
$p=\sqrt{2meU}$
De formule voor de debroglie-golflengte wordt daarmee:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU}}$
Uit de meetresultaten van Davisson en Germer (weergegeven in figuur 3 voor een versnelspanning van 54 V) is de afstand d te bepalen.
Vraag f. Bepaal afstand d.
Voor de debroglie golflengte geldt:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU}}$
En invullen geeft:
$\lambda = \frac{6,63\cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 9,11 \cdot 10^{-31}\cdot 1,60 \cdot 10^{-19} \cdot 54}}=1,67 \cdot 10^{-10}\text{m}$
Herschrijven van de formule:
$n\lambda = d sin\theta$
geeft:
$d = \frac{n\lambda}{sin\theta}$
Het maximum ligt bij een hoek van 50°, invullen geeft:
$d=\frac{1,67\cdot 10^{-10}}{sin50}=2,2\cdot 10^{-10} \text{m}$
