Aan de rand van de Zwitserse Alpen ligt het dorpje Mürren. Dit dorp is niet per auto te bereiken. Reizigers van en naar het dorp moeten gebruikmaken van een kabelbaan, de Mürrenbaan.
Anoek heeft een rit in de Mürrenbaan gemaakt. Zij heeft een gps bij zich waarmee ze tijdens de rit de hoogte van de cabine ten opzichte van de grond heeft gemeten.
Het bijbehorende (h,t)-diagram is in figuur 2 weergegeven. In het diagram zijn drie trajecten aangegeven: in traject 1 versnelt de cabine, in traject 2 beweegt de cabine met constante snelheid, in traject 3 remt de cabine weer af.
Opgaven
a) Bepaal met behulp van figuur 2 de gemiddelde snelheid in verticale richting over de hele rit.
De cabine met passagiers heeft een massa van 23,6 ton en wordt door een motor schuin omhoog getrokken. In traject 2 is de snelheid in verticale en horizontale richting (ongeveer) constant.
Alle wrijvingskrachten op de cabine worden verwaarloosd.
b) Bepaal de arbeid die de motor in traject 2 heeft verricht.
Anoek kan met de gps ook de snelheid van de cabine langs de baan meten. Zij meet in traject 2 een constante snelheid van 7,5 ms-1.
c) Bepaal de hellingshoek die de kabelbaan maakt met het horizontale vlak. Gebruik hierbij ook figuur 2.
De cabine hangt aan een draagkabel. Zie figuur 3. De resultante van de
spankrachten in deze draagkabel wordt in figuur 3 aangegeven als Fkabel.
In figuur 4 staat een versimpelde versie van figuur 3. In deze figuur komt 1,0 cm overeen een kracht van 1,0 x 105 N.
d) Bepaal met behulp van een constructie in een print van figuur 4 de grootte van de spankracht in de draagkabel.
De draagkabel is gemaakt van staal en heeft een doorsnede van 3,85 x 103 mm2. In figuur 5 is het spanning-rekdiagram gegeven van de gebruikte staalsoort.
e) Bepaal de maximale spankracht die deze draagkabel kan uitoefenen zonder blijvend te vervormen.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
De rit duurt in totaal 210 s. In die tijd wordt een hoogteverschil van 1500 - 860 = 640 m afgelegd. De gemiddelde snelheid is dan:
$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{640}{210}=3,05~\mathrm{ms}^{-1}$
Uitwerking vraag (b)
De zwaarte-energie van de cabine zal toenemen. De motor moet hiervoor arbeid verrichten. Er geldt dus:
$W=E_z=mgh$
Het hoogteverschil is 1420 - 955 = 465 m. Invullen geeft:
$W=23,6\cdot 10^3 \cdot 9,81\cdot 465 = 1,08\cdot 10^8~\mathrm{J}$
Uitwerking vraag (c)
Voor de hellingshoek geldt:
$\sin\alpha=\frac{s}{s_x}$
Hierin is sy de verticaal afgelegde afstand, 465 m. s is de totaal afgelegde afstand. Traject 2 duurt in totaal 170 -50 = 120 s. De cabine heeft een snelheid van 7,5 ms-1. De totaal afgelegde afstand is dan:
$s=v\cdot t=7,5\cdot 120= 900~\mathrm{m}$
De hellingshoek is dan gelijk aan:
$\alpha=\sin^{-1}\left(\frac{465}{900} \right )=31^{\circ}$
Uitwerking vraag (d)
Zie onderstaande constructie
Als je de spankracht op meet vind je een kracht van 7,0 cm lang (deze afstand hangt af van de instellingen van jouw monitor, misschien meet jij een ander getal!). De spankracht is gelijk aan:
$F_{span}=7,0\cdot 10^5~\mathrm{N}$
Uitwerking vraag (e)
De maximale spanning waarbij de draagkabel nog niet begint te vervormen is af te lezen in figuur 4 en is gelijk aan 300 MPa. Voor de maximale spankracht geldt dan:
$\sigma=\frac{F}{A}\rightarrow F=\sigma A = 300\cdot 10^6 \cdot 3,85 \cdot 10^{-3}=1,16\cdot 10^6~\mathrm{N}$
