In 1849 bepaalde Armand Fizeau in Parijs de lichtsnelheid met de
opstelling zoals weergegeven in een ‘artist impression’. Hier is een kijker
te zien met daarin een tandwiel dat snel rond kan draaien.
Deze kijker bevond zich op Montmartre. Meer dan 8 km verderop, op de
Mont Valérien à Suresnes, stond het tweede deel van zijn opstelling (o.a.
een spiegel). De hele opstelling staat schematisch getekend in figuur 2.
De opstelling werkt als volgt:
- Een lichtbundel uit een puntvormige lichtbron V valt op een lens L1.
- Vanuit deze lens valt de geconvergeerde lichtbundel op eenhalfdoorlatende spiegel. Deze halfdoorlatende spiegel reflecteert dehelft van het licht dat erop valt, de andere helft wordt doorgelaten.
- De gereflecteerde lichtbundel convergeert in punt B. Daar bevindt zichhet tandwiel. Als het tandwiel stilstaat, valt het licht tussen twee tanden door.
- Via de lenzen L2 en L3 komt de bundel op spiegel S terecht.
- De lichtbundel legt vervolgens de omgekeerde weg af terug naar de halfdoorlatende spiegel.
- Het doorgelaten deel van de lichtbundel komt via lens L4 in het oog van de waarnemer.
In figuur 3 zijn twee lichtstralen getekend die uit lens L1 komen. Ook is de zeer dunne halfdoorlatende spiegel getekend die een hoek van 45° maakt met de hoofdas van L1.
Opgaven
a) Teken in een print van figuur 3 het verloop van de doorgelaten
lichtstralen en construeer het verloop van de gereflecteerde lichtstralen.
De afstand van de lichtbron tot lens L1 bedraagt 15 cm. De afstand van L1 tot het midden van de halfdoorlatende spiegel bedraagt 15 cm en de afstand van het midden van deze spiegel tot het tandwiel bedraagt 30 cm.
b) Bereken hiermee de sterkte van lens L1.
De afstand tussen de lenzen L2 en L3 bedraagt in de opstelling 8,633 km. Het uitlijnen van de opstelling is ontzettend moeilijk. Stel dat de spiegel S over een hoek van 0,10° gedraaid is. Een teruggekaatste lichtstraal valt dan niet op L2 maar op een bepaalde afstand ernaast.
c) Bereken die afstand.
De breedte van een tand van het tandwiel is even groot als de opening tussen twee tanden, zoals figuur 4 schematisch weergeeft.
Om de lichtsnelheid te bepalen wordt het tandwiel in beweging gebracht. Bij een laag toerental zal een gedeelte van de bundel die tussen twee tanden doorgegaan is, na reflectie door spiegel S op de volgende tand van de tandwiel vallen. Bij een bepaald hoger toerental zal de hele doorgelaten bundel op de volgende tand van het tandwiel vallen. De waarnemer ziet dan niets meer.
Voor de lichtsnelheid geldt dan: $c=\frac{4Nd}{T}$
Hierin is:
- c de lichtsnelheid in m/s;
- N het aantal tanden van het tandwiel;
- d de afstand zoals aangegeven in figuur 2, in m;
- T de omlooptijd van het tandwiel waarbij de waarnemer net geen licht ziet, in s.
d) Leid deze formule af.
Fizeau maakte gebruik van een tandwiel met 720 tanden. De waarnemer
zag net niets meer bij een omloopfrequentie van 12,6 Hz.
e) Bereken hoeveel procent de lichtsnelheid die Fizeau zo gemeten heeft, afwijkt van de waarde in BINAS.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Uitwerking vraag (b)
Gegeven is v = 0,15 m en b = 0,15 + 0,30 = 0,45 m. Gebruik van de lensformule geeft dan:
$S = \frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{b} = \frac{1}{0,15} + \frac{1}{0,45} = 8,9~\mathrm{dpt}$
Uitwerking vraag (c)
Als de spiegel over een hoek α gedraaid wordt, reflecteert de teruggekaatste lichtbundel onder een hoek 2α. De verplaatsing ter hoogte van de waarnemer is vanuit de teruggekaatste hoek gezien de overstaande zijde. De gegeven afstand is de aanliggende zijde. De verplaatsing bij het tandwiel is dan:
$\tan{\alpha} = \frac{\mathrm{overstaand}}{\mathrm{aanliggend}} \rightarrow s = 8,663\cdot 10^3 \cdot \tan{0,20}=30~\mathrm{m}$
Let op, dit is de standaarduitwerking die door CITO gegeven wordt. Daar is nogal wat discussie over, zie de vraagbaak . Op korte termijn zullen we het correcte definitieve antwoord plaatsen.
Uitwerking vraag (d)
Het licht legt een afstand 2d af met snelheid c. De tijd die het onderweg is is dan:
$t=\frac{s}{v}=\frac{2d}{c}$
Het tandwiel moet even lang doen om 1 tand (of opening) verder te draaien. Voor het tandwiel is deze tijd gelijk aan:
$t=\frac{T}{2N}$
Combineren geeft:
$\frac{2d}{c}=\frac{T}{2N}$
En met kruislings vermenigvuldigen vind je:
$\displaylines{\begin{aligned}\\ 4dN &= Tc \\ c &= \frac{4Nd}{T}\end{aligned}}$
Uitwerking vraag (e)
We moeten eerst de waarde van de lichtsnelheid uitrekenen met de gegeven formule. Hierin geldt N = 720, d = 8633 m en voor T geldt:
$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{12,6} = 0,0794~\mathrm{s}$
Invullen geeft:
$c=\frac{4Nd}{T}=\frac{4\cdot 720\cdot 8,633\cdot 10^3 }{0,0794} = 3,13\cdot 10^8~\mathrm{ms}^{-1}$
Vergeleken met de waarde uit de Binas is het verschil:
$\frac{3,13\cdot 10^8 - 2,99792458\cdot 10^8}{2,99792458\cdot 10^8} \cdot 100\%=4,4\%$
