Gegevens over de zon, andere sterren en planeten zijn te vinden in de tabellen 31, 32B en 32C van het informatieboek Binas.
De ster Betelgeuze in het sterrenbeeld Orion is een zogenaamde rode superreus. Zie figuur 1.
Een rode superreus dankt zijn naam aan de kleur licht die hij uitzendt en aan zijn enorme omvang.
Opgaven
Stel je voor dat het middelpunt van Betelgeuze zich op de plaats van de zon zou bevinden.
a) Ga na welke planetenbanen dan geheel binnen de omvang van Betelgeuze zouden vallen.
Tijdens zijn levensloop is Betelgeuze enorm uitgezet, waarbij zijn temperatuur gedaald is tot een waarde die lager is dan die van de zon.
Zijn stralingskromme valt daardoor grotendeels in het rode en infrarode gebied van het stralingsspectrum.
b) Bereken de golflengte die hoort bij de top van de stralingskromme van Betelgeuze.
Als in een ster de voorraad waterstof is verbruikt, kunnen fusiereacties optreden tussen zwaardere elementen. In zeer zware sterren kunnen zelfs twee silicium-28-kernen fuseren tot één ijzer-56-kern.
Hierbij hoort de volgende kernreactievergelijking:
c) Bereken hoeveel energie er bij één zo'n fusiereactie vrijkomt.
Voor het vermogen dat een ster uitstraalt in de vorm van stralingsenergie geldt:
Hierin is:
- c een constante;
- r de straal van de ster in m;
- T de temperatuur van de ster in K.
Uit waarnemingen blijkt dat er voor de meeste sterren ook een verband bestaat tussen het vermogen Pster dat de ster uitstraalt en de massa Mster van de ster. Ten opzichte van de zon geldt de volgende relatie:
Als de massa van een ster groter is dan 10 maal de massa van de zon, zal de ster aan het eind van haar leven ontploffen als een zogenaamde supernova.
d) Ga door middel van een berekening na of Betelgeuze zal ontploffen als een supernova.
Op 29 maart 2003 werd aan de hemel een zeer bijzonder verschijnsel waargenomen: een gammaflits. Deze werd veroorzaakt doordat zeer ver weg een zeer zware ster die aan het eind van haar leven was, ontplofte.
Bij een gammaflits zendt de ster per seconde evenveel energie uit als de zon in tien miljard jaar, voornamelijk in de vorm van gammastraling.
Als Betelgeuze aan het eind van haar leven een gammaflits met hetzelfde vermogen produceert, ontvangt de aarde een zeer grote stralingsintensiteit. De stralingsintensiteit die de aarde van de zon ontvangt, bedraagt 1,4 * 103 Wm-2.
e) Bereken de stralingsintensiteit van de gammaflits van Betelgeuze die de aarde zou bereiken in verhouding tot de stralingsintensiteit van de zon op aarde.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Om dit antwoord te kunnen geven moet de straal van Betelgeuze en die van de banen van de planeten opgezocht worden.
De straal van Betelgeuze staat in tabel 32B en is 700 * 109 m.
In tabel 31 staat dat de straal van de baan van Mars 227,8 * 109 m is, en die van Jupiter 777,9 * 109 m.
De banen van Mercurius, Venus, de Aarde en Mars zouden dus binnen Betelgeuze vallen.
Uitwerking vraag (b)
De golflengte die hoort bij de top van de stralingskromme kan berekend worden met:
λmaxT = kw
Hierbij geldt dat kw = 2,8978 * 10-3 en T = 3300 K. De golflengte kan dan dus eenvoudig bepaald worden:
λmax = kw / T = 2,8978 * 10-3 / 3300 = 878,1 nm
Uitwerking vraag (c)
Om de hoeveelheid vrijgekomen energie te bepalen dient het massadefect bepaald te worden. Dit wordt gedaan door de massa aan de rechterkant van de vergelijking af te trekken van de massa aan de linkerkant. Vergeet hierbij niet de elektronenmassa's in rekening te brengen! Dit geeft:
Δm = 2 * ( 27,97693 u - 14 me ) - ( 55,93494 u - 26 me + 2 me )
De elektron massa is gelijk aan 5.49 * 10-4 u. Als dit ingevuld wordt blijkt het massadefect gegeven te zijn door:
Δm = ( 0,01892 - 4 * 0,000549 ) u = 0,01673 u
1 u komt overeen met 931,49 MeV. De totale vrijgekomen energie is dus:
E = 0,01673 * 931,49 = 15,58 MeV = 2,496 * 10-12 J
Uitwerking vraag (e)
De massa van Betelgeuze kan uitgedrukt worden in termen van de massa van de zon en het vermogen van Betelgeuze en de zon. De gegeven vergelijking kan omgeschreven worden tot:
Mster = ( Pster / Pzon )2/7 Mzon
Het vermogen van Betelgeuze kan bepaald worden met de gegeven functie. De waarde van c is echter onbekend. Om dit te vinden gebruiken we de gegevens van de zon:
Pzon = cr2T4
c = Pzon / ( r2T4 ) = 0,390 * 1027 / ( ( 0,696 * 109 )2 * 58004 ) = 7,114 * 10-7
Het vermogen van Betelgeuze kan nu bepaald worden:
Pster = 7,114 * 10-7 * (700 * 109)2 * 33004 = 4,134 * 1031 W
Door Pster en Pzon in te vullen in de vergelijking die we eerder gevonden hadden, vinden we:
Mster = 27,3 Mzon
Betelgeuze zal dus ontploffen als een supernova.
Uitwerking vraag (f)
Een gammaflits zendt per seconde evenveel energie uit als de zon in een miljard jaar. Met behulp van de binas kunnen we dit berekenen. In tabel 32c staat dat het vermogen van de zon per seconde 0,390 * 1027 W is. In een miljard jaar is dit:
E = 0,390 * 1027 * 1010 * 365 * 24 * 3600 = 1,23 * 1044 J
Dit is de energie die per seconde uitgezonden wordt. Het vermogen van een gammaflits is dus P = 1,23 * 1044 W. Deze energie wordt als een bol uitgestraald. Het stralings intensiteit doe de aarde bereikt is dus gegeven door:
I = P / (4 π r2)
met r de afstand tussen de aarde en Betelgeuze, gegeven door 6200 * 1015 m (binas tabel 32). De stralingsintensiteit die de aarde zou bereiken is dus gegeven door:
I = 1,23 * 1044 / ( 4 π * ( 6200 * 1015 )2 ) = 2,54 * 105 Wm-2
De verhouding tussen dit getal en de hoeveelheid straling die de aarde van de zon ontvangt is:
2,54 * 105 / 1,4 * 103 = 1,8 * 102
