De Europese ruimtevaartorganisatie ESA heeft al enkele malen een Ariane-5-raket gelanceerd.
Opgaven
Door het uitstoten van verbrandingsgassen wordt de raket voortgestuwd.
a) Leg dit uit met een natuurkundige wet.
De beweging tijdens de start van de Ariane-5-raket wordt onderzocht aan de hand van een video-opname. Van de eerste honderd seconde is een (v,t)-grafiek gemaakt en weergegeven in figuur 1.
De totale massa van de Ariane-5-raket bij de start is 7,14 * 105 kg.
b) Maak een print van figuur 1 en bepaal aan de hand van dit figuur de stuwkracht Fstuw die de Ariane-5-raket ondervindt op t = 0 s.
Elke seconde wordt er 3,6 * 103 kg brandstof uitgestoten met een snelheid u van 3,0 km s-1. De ESA gebruikt voor de snelheid v(t ) van de raket de formule:
Hierin is:
- m(0) de totale massa bij de start in kg;
- m(t) de totale massa op tijdstip t in kg;
- g de valversnelling op het aardoppervlak in ms-2.
c) Laat aan de hand van een berekening zien dat deze formule een goede benadering van de snelheid op t = 60 s geeft.
Voor grotere hoogten geldt voor de gravitatiekracht de formule:
Hierin is:
- R de straal van de aarde in m;
- h de hoogte boven de aarde in m;
- g de valversnelling op het aardoppervlak in ms-2.
d) Leid deze formule af..
Bij de beweging van de Ariane-5-raket speelt de wrijvingskracht op de Ariane-5-raket ook een rol. In figuur 2 is het verloop van de wrijvingskracht Fw tegen de hoogte h weergegeven.
e) Leg uit waarom Fw eerst toeneemt en dan weer afneemt.
De voortstuwingskracht Fstuw die op de Ariane-5-raket werkt is constant. De versnelling van de Ariane-5-raket blijkt niet constant te zijn.
Voor deze versnelling geldt:
a = ( Fstuw - Fg - Fw ) / m
f) Leg uit of de versnelling op 100 km hoogte groter of kleiner is dan op 40 km.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Dit kan uitgelegd worden met de derde wet van Newton. De raket stoot gassen naar achteren uit. Deze gassen oefenen dan dus een kracht naar voren uit op de raket.
Uitwerking vraag (b)
De versnelling op t = 0 kan bepaald worden door de steilheid van de raaklijn te bepalen. Eerst moet de raaklijn getekend worden:
De versnelling is dan dus gegeven door:
a = Δv / Δt = 510 / 100 = 5,10 ms-2
Deze versnelling wordt veroorzaakt door de stuwkracht in de ene richting en de zwaartekracht in de andere. Dit geeft:
F = ma = Fstuw - Fz
Met Fz de zwaartekracht. De zwaartekracht is gegeven door m*g, met g de gravitatieconstante. De stuwkracht kan nu bepaald worden:
Fstuw = F + Fz = ma + mg = m * (a + g)
Fstuw = 7,14 * 105 * ( 5,10 + 9,81 ) = 1,1 * 107 N
Uitwerking vraag (c)
Op t = 60 is de massa gegeven door:
m(60) = 7,14 * 105 - 60 * 3,6 * 103 = 4,98 * 105 kg
De snelheid kan berekend worden met de gegeven formule:
v(60) = 3,0 * 103 * ln( 7,14 * 105 / 4,98 * 105 ) - 60 * 9,81 = 4,9 * 102 ms-1
Dit komt goed overeen met de waarde die af te lezen is in figuur 1.
Uitwerking vraag (d)
Op het aardoppervlak geldt:
Fz = mg = G mM / R2
Als we hierin de massa m wegstrepen, vinden we:
Fz / m = g = G M / R2
Hieruit volgt dat de gravitatieconstante G gegeven is door:
G = gR2/M
Op hoogte h is de zwaartekracht gelijk aan:
Fg = G mM / (R+h)2
Als we de uitdrukking voor G invullen die eerder gevonden is vinden we:
Fg = gmR2 / (R+h)2
Uitwerking vraag (e)
In het begin wordt de weerstand groter omdat de snelheid van de raket groter wordt.
Later neemt de weerstand af omdat de dichtheid van de lucht op grote afstand van het aardoppervlak afneemt.
Uitwerking vraag (f)
De zwaartekracht, Fg neemt af met de hoogte. Deze is op 100 km dus kleiner dan op 40 km.
Uit figuur 2 volgt dat de wrijving, Fw op 100 km ook kleiner is dan op 40 km.
Dit betekent dat de versnelling op 100 km groter is dan die op 40 km.
