Thomas heeft een springstok gekocht die op luchtdruk werkt. Zie figuur 1.
Figuur 2a toont het onderste deel van de springstok.
Dit bestaat uit:
- een holle cilinder waar de voetsteunen en het bovenste gedeelte van de springstok aan vastzitten;
- een 'springpoot' die in de cilinder op en neer kan schuiven.
In de cilinder zit lucht. Deze lucht is aan de bovenkant van de buitenlucht afgesloten door een ventiel. Aan de onderkant is de lucht afgesloten door een zuiger die de bovenkant van de springpoot vormt.
Figuur 2b toont een doorsnede van het geheel. Wanneer de springstok rechtop staat en niet wordt belast, bevindt de zuiger zich onder in de cilinder zoals in figuur 2b.
De luchtdruk in de cilinder is dan gelijk aan de buitenluchtdruk.
Als Thomas op de voetsteunen gaat staan, schuift de cilinder naar beneden, zoals in figuur 2c is getekend. Door het gewicht van Thomas neemt de luchtdruk in de cilinder toe van 1,0·105 Pa tot 4,3 ·105 Pa. De massa van Thomas is 42 kg.
De massa van de springstok is te verwaarlozen.
Opgaven
a) Bereken de diameter van de zuiger.
De cilinder schuift in deze situatie zo ver over de springpoot, dat springen met de springstok niet goed mogelijk is. Thomas pompt daarom via het ventiel extra lucht in de cilinder. Hierdoor loopt de druk in de cilinder op tot 3,0·105 Pa. Als hij op de springstok staat, is de druk weer gelijk aan 4,3·105 Pa.
Als Thomas nog niet op de springstok staat, is de lengte L van de luchtkolom in de cilinder 34 cm. Zie figuur 2b. De lucht in de cilinder mag beschouwd worden als een ideaal gas, waarvan de temperatuur constant is.
b) Bereken hoe ver de zuiger ten opzichte van de cilinder is verschoven als Thomas op de springstok staat.
Thomas gaat springen. Hierbij verandert het volume van de lucht in de cilinder voortdurend. Als de springstok omhoog beweegt, wordt het volume van de lucht snel groter. Hierdoor verandert de temperatuur in de cilinder wél. Tijdens deze beweging is er geen warmte-uiwisseling met de omgeving.
c) Leg met behulp van de eerste hoofdwet van de warmteleer uit of bij deze beweging de temperatuur van de lucht in de cilinder stijgt of daalt.
In figuur 3 is een gedeelte van de (v,t)-grafiek van Thomas weergegeven.
Op het tijdstip t = 0 beweegt Thomas omlaag.
d) Leg uit op welk tijdstip tussen t = 0 en t = 1,6 s Thomas zich in het allerhoogste punt bevindt.
e) Bepaal met behulp van figuur 3 de versnelling op het tijdstip t = 0,90 s.
De voetsteunen zijn inklapbaar. Zie figuur 4. In figuur 5 zijn beide voetsteunen volledig uitgeklapt.
In deze figuur geldt:
- punt D is het draaipunt van één voetsteun;
- in punt R is de kracht die op deze voetsteun werkt als Thomas erop staat als een pijl weergegeven;
- in punt Q is de werklijn van de kracht getekend die de cilinder op de voetsteun uitoefent.
Wanneer Thomas op de springstok staat, is zijn gewicht gelijk verdeeld over beide voetsteunen.
f) Bepaal de grootte van de kracht die de cilinder in punt Q op de voetsteun uitoefent.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
Om de diameter te berekenen, gebruiken we de formule ∆p = F / A, met ∆p het drukverschil dat de kracht veroorzaakt; F de zwaartekracht; A de oppervlakte waar de kracht op werkt.
We willen hiermee de oppervlakte berekenen, dus we moeten de andere twee grootheden weten:
∆p = 4,3·105 - 1,0·105 Pa = 3,3·105 Pa.
F = Fz = mg = 42 · 9,81 = 412 N.
De oppervlakte is dus: A = F / ∆p = 412 / (3,3·105) = 0,00125 m2.
Hiermee kunnen we de straal berekenen: A = πr2.
Dus r = √(A/π) = √(0,00125/3,14) = 0,020 m = 2,0 cm. De diameter is twee keer de straal: d = 2·r = 4,0 cm.
Uitwerking vraag (b)
We gebruiken de ideale gaswet: pV = nRT. Gegeven is dat de temperatuur constant is. Ook het aantal deeltjes n in het gas is constant, want de cilinder is afgesloten. Ook R is een constante. Dit betekent dat de rechterkant van de vergelijking helemaal constant is. Dit betekent dat pV = constant, oftewel: p1V1 = p2V2.
Vóórdat Thomas op de springstok gaat staan is de druk p1 = 3,0·105 Pa en het volume in de cilinder is V = 0,34 m · A.
Als hij erop staat is de druk p2 = 4,3·105 en het volume is V2 = L2 · A.
p1V1 = p2V2, invullen geeft: 3,0·105 · 0,34 m · A = 4,3·105 · L2 · A.
De oppervlaktes A zijn dezelfde, dus deze kunnen we wegdelen. Omschrijven naar L2 geeft:
L2 = (3,0·105 · 0,34 m) / 4,3·105 = 0,24 m = 24 cm. De afstand die de cilinder heeft bewogen is dan ∆L = L1 - L2 = 34 - 24 cm = 10 cm.
Uitwerking vraag (c)
We gebruiken de eerste hoofdwet: ∆Q = ∆E + W.
Er is gegeven dat er geen warmte-uitwisseling plaatsvindt, dus ∆Q = 0. De arbeid die wordt verricht door Thomas op de cilinder is gelijk aan W = p∆V. Het volume neemt tijdens zijn sprong toe, dus ∆V is positief, de arbeid dus ook. Nu is er nog één term over: ∆E. Deze is gelijk aan ∆E = 0 - W = -W. De kinetische energieverandering is dus negatief. Dit betekent dat de deeltjes in het gas minder gaan bewegen en dit betekent dat de temperatuur afneemt.
Uitwerking vraag (d)
Als Thomas op het hoogste punt is, hangt hij als het ware even stil voordat hij naar beneden valt, dus zijn snelheid is dan eventjes nul. Voordat hij op het hoogste punt was, had hij een positieve snelheid; erna heeft hij een negatieve snelheid.
Hij bevindt zich dus op het allerhoogste punt op t = 0,54 s.
Uitwerking vraag (e)
Om de versnelling uit de (v,t)-grafiek te halen op t = 0,90 s, moeten we de helling op dat punt bepalen. Dit kan het beste door een rechte lijn door dit punt te trekken, die in het punt gelijk valt met de grafiek, zoals in figuur 6 hieronder is weergegeven.
figuur 6
We kiezen nu twee handige punten, het beste zo ver mogelijk uit elkaar en van het punt af, om in te vullen in de formule: a = ∆v / ∆t. Kies bijv. v(0,85 s) = -1,0 m/s en v(0,96) = 1,5 m/s.
Invullen geeft ons de versnelling op t = 0,90 s: a = ∆v / ∆t = (1,5 - - 1,0) / (0,96 - 0,85) = 23 m/s2.
Uitwerking vraag (f)
Thomas laat op iedere voetsteun de helft van zijn zwaartekracht werken. De kracht op één voetsteun (in het punt R) is dus: FR = ½Fz = ½·42·9,81 = 206 N.
De cilinder oefent vervolgens een kracht uit op de voetsteun om deze zwaartekracht op de voetsteun op te heffen. Nu kunnen we de hefboomwet gebruiken om de kracht van de cilinder op de voetsteun te vinden:
Fcil·rQD = FR·rRD. Hierbij zijn de afstanden rQD = 1,0 cm en rRD = 3,0 cm.
Alles invullen geeft ons de kracht van de cilinder op de voetsteun:
Fcil·1,0 cm = 206 · 3,0 cm.
Dus Fcil = 206 · 3,0 = 618 N.
