Een Frans bedrijf heeft een zogenaamde ionenmotor ontwikkeld voor gebruik in ruimtevaartuigen. De satelliet Smart-1 (zie figuur 1) die in september 2003 werd gelanceerd, gebruikte zo'n ionenmotor om naar de maan te gaan.
Smart-1 heeft een massa van 370 kg. De motor levert een kracht van 7,0 * 10-2 N. Deze kracht is te klein om het ruimtevaartuig vanaf de aarde te lanceren.
Opgaven
a) Leg uit waarom de kracht van de ionenmotor daarvoor te klein is.
Smart-1 is daarom eerst met een gewone raket in een baan om de aarde gebracht. Zie figuur 2. Deze baan is cirkelvormig met een straal van 9,02 * 106 m.
De middelpuntzoekende kracht wordt geleverd door de zwaartekracht. Op deze hoogte is de zwaartekracht de helft van die op het aardoppervlak.
b) Bereken de snelheid waarmee de satelliet deze cirkelbaan doorloopt.
Nadat de satelliet enkele rondjes gedraaid heeft om alle systemen te testen en de zonnepanelen uit te vouwen, wordt de ionenmotor ingeschakeld.
Stel dat de kracht van 7,0 * 10-2 N de enige kracht is die de snelheid van de satelliet doet toenemen.
c) Bereken de tijd die nodig zou zijn om de snelheid van de satelliet met 1,0 m/s te doen toenemen.
In de ionenmotor worden xenon-atomen geïoniseerd. Deze ionen (Xe+) missen één elektron. De stuwkracht van de ionenmotor ontstaat door het uitstoten van deze Xe+-ionen. Daarvoor worden de ionen door een elektrische spanning vanuit stilstand op een snelheid van 16 * 103 m/s gebracht. Met die snelheid vliegen ze de ruimte in. De massa van een Xe+-ion is 2,18 * 10-25 kg.
d) Bereken de spanning die de ionen doorlopen.
Uitwerkingen
Open het antwoord op de vraag van jouw keuze.
Uitwerking vraag (a)
De zwaartekracht op de satelliet is gegeven door:
F = m*g
Hierbij is g de gravitatieconstante, met een waarde 9,81 m/s2 en m de massa van de satelliet.
De totale zwaartekracht is vele malen groter dan de kracht van de motor, waardoor de motor niet in staat is het ruimtevaartuig vanaf de aarde te lanceren.
Uitwerking vraag (b)
Zoals gezegd wordt de middelpuntzoekende kracht geleverd door de gravitatiekracht. Deze middelpuntzoekende kracht is gegeven door:
F = mv2/r
Uit het evenwicht tussen deze twee krachten is de snelheid te bepalen:
mv2/r = m*0,5*g
De factor 0,5 in de rechterkant van deze vergelijking volgt uit het gegeven dat de zwaartekracht op deze hoogte de helf is van die op het aardoppervlak. Nu volgt:
v2 = 0.5 * g * r = 0.5 * 9.81 * 9,02 * 106 = 44,2 * 10 6 m2/s2
Dan is de snelheid gegeven door:
v = (44,2 * 10 6)0,5 = 6,65 * 103 m/s
Uitwerking vraag (c)
Door de tweede wet van Newton iets om te schrijven is het antwoord op deze vraag te berekenen:
F = m*a = m*Δv/Δt
Dus, de gevraagd tijd is gegeven door:
Δt = mΔv / F = 370 * 1 / 7,0 * 10-2 = 5,3 * 103 s
Uitwerking vraag (d)
De energie ten gevolge van de te bepalen spanning wordt gegeven door het product van de lading en de spanning: E = qU
Deze kracht dient gelijk te zijn aan de kinetische energie, die gegeven is door: E = 0,5 m v2
Uit het evenwicht tussen deze krachten is de spanning te bepalen:
U = 0,5 m v2 / q = 0,5 * 2,18 * 10 -25 * (16 * 103)2 / 1,6 * 10 -19 = 1,7 * 102 V
