Trillingen en golven 5

Onderwerp: Geluid, Trilling en golf

havo/vwo, trillingen en golven, 10 min

Opgave

Een gitaarsnaar wordt zo aangeslagen dat deze zijn grondtoon voortbrengt. De snaar trilt dan zoals is aangegeven in de figuur hiernaast. Deze toon blijkt een frequentie te hebben van 440 Hz. In de muziek noemt men deze toon een a. De golfsnelheid in de snaar bedraagt 563 m / s.

a) Bereken de lengte van de snaar.

Kort men de snaar in tot b van zijn oorspronkelijke lengte, dan brengt deze een toon voort met een frequentie van 660 Hz. Deze toon noemt men in de muziek een e.

b) Licht met een berekening toe dat de golfsnelheid in de snaar bij de a niet verschilt van die bij de e.

Behalve de grondtoon kan een snaar ook boventonen voortbrengen. Bij een boventoon trilt de snaar met een eigenfrequentie die hoger is dan die van de grondtoon. In de figuur hiernaast is weergegeven hoe de snaar trilt als deze de eerste, tweede of de derde boventoon voortbrengt. Op de gitaar worden nu twee snaren tegelijk aangeslagen. Beide snaren brengen tegelijk met hun grondtoon ook boventonen voort. De ene snaar heeft als grondtoon de a, de andere de e. In de muziek wordt de combinatie van de tonen a en e een kwint genoemd. Het geluid van een kwint wordt door menig luisteraar als 'prettig' ervaren. Een mogelijke verklaring hiervoor is dat de tonen van een kwint gemeenschappelijke boventonen bezitten.

c) Voor de golfsnelheid in (gitaar-)snaren geldt:

Hierin is Fs de spankracht in de snaar en m / R de massa per lengte eenheid van de snaar. De snaar uit vraag a. is cilindervormig, heeft een diameter d en een dichtheid ρ.

d) Leid m.b.v. de zojuist gegeven formule af dat voor de spankracht het volgende geschreven kan worden: