Opgave
Blauwbaard houdt jonge vrouwen gevangen in zijn toren. Sommige van hen zijn slimme dames. Ze proberen vanuit de toren een steen (m = 250 g) te laten vallen op Blauwbaard, op het moment dat hij beneden staat (zie tekening).
Ze willen berekenen met welke snelheid de steen op de grond komt. Met een digitale afstandsmeter meten zij (als Blauwbaard even weg is) dat de hoogte van de toren gelijk is aan 120 m. De dames kunnen hiermee de eindsnelheid vanaf de toren berekenen; zij verwaarlozen per abuis de invloed van de luchtwrijving.
a) Bereken met welke snelheid de steen op de grond valt, als jij ook per abuis de luchtwrijving verwaartloost.
De slimste dame merkt op dat de (gemiddelde) wrijvingskracht Fw die de steen t.g.v. de lucht ondervindt gelijk is aan 1,5 N.
b) Bereken opnieuw de eindsnelheid van de steen.
Blauwbaard is terug! Het is een stevige kerel van wel twee meter lang en de dames schieten nu de steen vanaf het dak van de toren recht omhoog met een beginsnelheid van 14 m/s.
c) Bereken de maximale hoogte die de steen bereikt t.o.v. de begane grond.
d) Bereken de snelheid van de steen bij het neerkomen op Blauwbaards hoofd. Houd rekening met luchtwrijving.
Uitwerking vraag (a)
• Energie voor = potentiële energie = m * g * h = massa * gravitatie constante * hoogte
• Energie na = kinetische energie = ½ * m * v2 = ½ * massa * snelheid2
• m * g * h = ½ * m *v2wordt v = (2 * g * h)½
• v = (2 * 9.81 * 120)½ = 48.5 m / s
Uitwerking vraag (b)
• Energie voor = potentiële energie = m * g * h
• Energie na = kinetische energie + warmte (wrijving) = ½ * m * v2 + Fw * h
• Fw is de wrijvingskracht van 1,5 N
• m * g* h = ½ * m *v2 + Fw * h wordt v = (2 * g * h - (2*Fw * h) / m)½
• v = (2 * g * h - (2*Fw * h) / m)½ = v = (2 * 9.81 * 120 - (2*1.5 * 120) / 0.250)½ = 30 m / s
Uitwerking vraag (c, zonder wrijving)
• Energie voor = kinetische energie + potentiële energie = ½ * m * v2 + m * g * h
• Energie na = potentiële energie = m * g * d (met d de afstand vanaf de grond)
• m * g* h + ½ * m * v2 = m * g * d wordt d = (m * g* h + ½ * m * v2) / (m * g) = ½ * (v2 / g) + h
• d = (m * g* h + ½ * m * v2) / (m * g) = ½ * (v2 / g) + h = (1 / (2 * 9.81) * 142 +120 = 130 m
Uitwerking vraag (c, met wrijving)
• Energie voor = kinetische energie + potentiële energie = ½ * m * v2 + m * g * h
• Energie na = potentiële energie + wrijving = m * g * d + Fw * d
• ½ * m * v2 + m * g * h = m * g * d + Fw * (d - h) wordt d = (½ * m * v2) / (m * g + Fw) + h
• d = (½ * m * v2) / (m * g + Fw) + h = (½ * 0.250 * 142) / (0.250 * 9.81 + 1.5) + 120 = 126.2 m
Uitwerking vraag (d, mbv van vraag c zonder wrijving)
• Energie voor = potentiële energie = m * g * d
• Energie na = kinetische energie = ½ * m * v2
• d = 130 - 2 = 128 m (ivm de lengte van Blauwbaard)
• m * g * d = ½ * m * v2 wordt v = (2 * g * d)½
• v = (2 * g * d)½ = (2 * 9.81 * 128)½ = 50.1 m / s
Merk op dat het hier niet uitmaakt of de steen recht omhoog of recht omlaag wordt gegooid met de gegeven beginsnelheid. We zeggen: zonder wrijving is de zwaartekracht een conservatieve kracht.
Uitwerking vraag (d, mbv van vraag c met wrijving)
• Behoud van energie
• Energie voor = potentiele energie = m * g * d
• Energie na = kinetische energie + wrijving = ½ * m * v2 + Fw * d
• d = 126.2 - 2 = 124.2
• m * g * d = ½ * m * v2 + Fw * d wordt v2 = (2d * (m * g - Fw) / m)
• v = (2d * (m * g - Fw) / m)½ = (2 * 124.2 (0.250*9,81 - 1.5) / 0.250)½ = 30.8 m / s
Merk op dat het hier WEL uitmaakt of de steen recht omhoog of recht omlaag wordt gegooid. Omhoog werkt de wrijvingskracht over een grotere afstand. De wrijvingskracht is een niet-conservatieve kracht
